quarta-feira, 11 de novembro de 2009

O Crescimento Populacional ( Uma Aplicação de Função Exponencial)

Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:

N(t)=No ert

Onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população.

É evidente que o gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=Noer.t. Na realidade, quando N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...

Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 er12

logo

e12r=600/200=3

assim

ln(e12r)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que:

12r=ln(3)

assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Assim:

N(48)=200 e48.(0,0915510)= 16200 bactérias

Então, após 36 horas da última contagem, ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

Referência Bibliográfica:


http://www.coladaweb.com/matematica/funcao

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